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【资料图】

第 三 章 矩阵的初等变换与线性方程组

&1.矩阵的初等变换

意义：矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，它在解线性方程组、求逆阵及矩阵理论的探讨中都可起重要的作用。

概念：

矩阵的初等行变换：

对调两行

以数k≠0乘某一行中的所有元素

把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去

矩阵的初等列变换：把矩阵的初等行变换定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义（所用记号是把“r”换成“c”）。

矩阵的初等变换：矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换。

矩阵行等价：如果矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B，就称矩阵A与B行等价，记作

矩阵列等价：如果矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B，就称矩阵A与B列等价，记作

矩阵等价：如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与B等价，记作

行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线段下方全为0，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元。

行最简形矩阵：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0。

性质：矩阵之间的等价关系具有下列性质：

(i)反身性：A~A

(ii)对称性：若A~B，则B~A

(iii)传递性：若A~B，B~C，则A~C.

定理：设A与B都为mxn矩阵，那么：

对于任何矩阵A，总可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵；

矩阵A与B行等价的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P；使PA=B；

矩阵A与B列等价的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵Q；使AQ=B；

矩阵A与B等价的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，PAQ=B.

初等矩阵：由单位阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵

性质：

设A是一个mxn矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵；

方阵A可逆的成分必要条件是存在有限个初等矩阵P1,P2,...,Pl，使A=P1,P2,...,Pl；

方阵A可逆的充分必要条件是A与E矩阵行等价。

&2.矩阵的秩

概念：

矩阵A的k阶子式：在mxn矩阵A中，任取k行与k列（k<=m,k<=n），位于这些行列交叉处的k^2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。

最高阶非零子式与矩阵的秩：设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于0，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A)。并规定零矩阵的秩等于0。

满秩矩阵：对于n阶矩阵A，由于A的n阶子式只有一个|A|，故当|A|≠0时，R(A)=n，当|A|=0时，R(A)<n，可见可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数，因此，可逆矩阵又称满秩矩阵。

列满秩矩阵：矩阵A的秩等于它的列数，这样的矩阵称为列满秩矩阵。

定理：

若矩阵A中有某个s阶子式不为0，则R(A)>=s；若A中所有t阶子式全为0，则R(A)<t；

若A为mxn矩阵，则0<=R(A)<=min{m,n}；

若A~B，则R(A)=R(B)；

若可逆矩阵P，Q，使PAQ=B，则R(A)=R(B）；

max{R(A),R(B)}<=R(A,B)<=R(A)+R(B)；

R(A+B)<=R(A)+R(B)；

R(AB)<=min{R(A),R(B)}；

对m行n列矩阵A与n行l列矩阵B，若AB=O，则R(A)+R(B)<=n；

当列满秩矩阵为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩阵，也就是可逆矩阵；

设AB=O，若A为列满秩矩阵，则B=O；

由于行列式与其转置行列式相等，因此A的转置的子式与A的子式对应相等，从而